完全性の公理が重要なのはなぜですか？
質問者：Aguasantas Llinares |最終更新日：2020年4月30日
カテゴリ：科学空間と天文学
微積分における完全性公理の必要性。 Rの完全性「公理」、または同等に最小の上限プロパティは、実際の分析のコースの早い段階で導入されます。次に、アルキメデスの性質を証明するために使用できること、コーシー列の概念などに関連していることを示します。
続いて、完全性の公理をどのように証明するのかという質問もあります。有理数から実数を適切に「構築」すると、完全性の公理が定理として証明できます。この証明はかなり長いです。本文の最後にその概要が記載されています。微積分のほとんどすべては、これから見ていくように、完全性の公理の結果です。
さらに、なぜRが完成するのですか？定理： Rは完全な距離空間です。つまり、実数のすべてのコーシー列が収束します。この証明は、単調収束定理を介して、実数の完全性公理（ RがLUBプロパティを持っていること）を使用しました。
また、実数の完全性とは何ですか？
実数の完全性の特性は、すべてのコーシー列が収束することです。実数はあなたが建設何かに最終的にはすべてのコーシー列が収束するまで、有理数に要素を追加することによって、実数を定義することで、このプロパティを持っています。
なぜ有理数が完成しないのですか？
実数は、上記制限される実数のすべてのセットは最小の上限ており、以下境界毎セットが下限最大を有するという意味で完全です。すべての無理数に「ギャップ」があるため、有理数にはこの特性がありません。
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どのようにして最小の上限を証明しますか？
定理：（L、R）がカットの場合、L =（-∞、x]とR =（x、∞）またはL =（-∞、x）とR =のいずれかの実数xがあります。 [x、∞）。証明：集合Lは空ではなく、Rの任意の要素によって上に制限されます。したがって、上限sup（L）が最小になります。 xをsup（L）として定義します。
セットのsupとinf /をどのように見つけますか？
もしλ≥0、次いでINFλA=λINF A及びSUPλA=λSUP A.もしλ<0の場合、λA=λSUP A及びSUPλA=λA + B = INF A + INF B INF A. INF INF ; supremaについても同様です。 A、Bが非負の実数の空でない集合である場合、 inf AB = infAです。
実数は完全ですか？
すべての収束シーケンスはコーシー列であり、その逆は実数に当てはまります。これは、実数の位相空間が完全であることを意味します。有理数の集合は完全ではありません。
完全なセットとは何ですか？
完全なセットは、すべてのコーシー列が収束する距離空間です。アイデアは、シーケンスのポイント間の距離が最終的に任意に小さくなる、つまり、シーケンス内のポイントを見つけることができ、その後、すべてのポイントが互いに任意の小さな距離内にあるということです。
自然数は完全ですか？
自然数のセットは、上限の特性を満たしているため、完全であると主張できます。しかし、自然数のセットは密ではありません。それは実際には離散的です。他の自然数を含まないように、すべての自然数の近隣があります。
実数のアルキメデスの性質とは何ですか？
定義順序体Fは、Fに正のxとyが与えられた場合、整数n> 0であり、nx> yである場合、アルキメデスの性質を持ちます。定理実数のセット（Least Upper Boundプロパティを持つ順序体）には、アルキメデスのプロパティがあります。
セットのSupremumとInfimumとは何ですか？
セットの上限はその最小の上限であり、下限はその最大の上限です。定義2.2。 A⊂Rが実数の集合であると仮定します。セットAの上限または下限は、存在する場合は一意です。
コーシー列とはどういう意味ですか？
定義。配列に関しては、最終的にはすべて任意に近いお互いになった場合のシーケンスは、コーシー列と呼ばれています。つまり、ε> 0の場合、nが存在し、m、n> Nの場合、| a m --a n | <ε。
有理数はどのように数えられますか？
有理数が可算であることの簡単な証明。あなたがその要素を数えることができるならば、セットは数えられます。もちろん、集合が有限である場合、その要素を簡単に数えることができます。セットが無限である場合、可算であるということは、自然数が正しいのと同じように、セットの要素を並べることができることを意味します。